یکشنبه بیست و یکم مرداد 1386
مقدمه
در ریاضیات گاهی به عبارتهای بسیار خسته کننده و دشوار میرسیم، اما این عبارتها ، بعضی مواقع با عبارتهای معادل جایگزین میشوند که نسبت به عبارتهای اولیه کوتاهتر و به اصطلاح جمع و جورتر هستند. بنابراین میتوان گفت که به نوعی بین روابط اولیه و روابط کوتاه بعدی ، وحدت یا متحد بودن برقرار است. یعنی میتوان یک رابطه تساوی نوشت ، بگونهای که عبارت طولانیتر در یک طرف و عبارت کوتاهتر در طرف دیگر آن قرار گیرد. چنین عبارتی را در اصطلاح ریاضیات یک اتحاد ریاضی میگویند. برای ورود به بحث اتحادها بهتر است ابتدا چند تعریف مقدماتی را که در برسی اتحادها مفید واقع میشود، بیان کنیم.
عبارت جبری
عبارت جبری ، عبارتی است که در آن اعداد و حروف با چهار عمل اصلی و توان و رادیکال به هم مربوط شدهاند. به عنوان مثال عبارتی به صورت 3x+5xy یک عبارت جبری است که ترکیبی از حروف x و y و اعداد ا ست که با عمل جمع به هم مربوط شدهاند.چند جملهای
در حالت کلی یک عبارت جبری به صورتP(x)=anxn+an-1xn-1+....+a2x2+a1x1+a0
را یک چند جملهای میگویند که در آن x متغیر بوده و ضرایب a1 , a2 , ......, an-1 , an اعدا حقیقی هستند.چند جملهای فوق یک چند جملهای تک متغیره است، اما یک چند جملهای میتواند دارای متغیرهای بیشتری باشد. مثلا عبارت 2x2+5xy4+14y-18 یک چند جملهای دو متغیره است. بدیهی است که هر چند جملهای با تعداد جملاتش شناخته میشود. مثلا (P(x یک n جملهای است.
درجه یک چند جملهای
هر چند جملهای علاوه بر تعداد جملات دارای یک ویژگی دیگر نیز میباشد که از آن تحت عنوان درجه چند جملهای تعبیر میشود. طبق تعریف در هر چند جملهای ، درجه نسبت به هر یک از متغیرها بزرگترین درجه آن متغیر است. درجه هر جمله نسبت همه متغیرها بزرگترین درجه آن متغیر است. درجه هر جمله نسبت به همه متغیرها با مجموع توانهای متغیرها در آن جمله برابر است و نیز درجه چند جملهای نسبت به همه حروف با بیشترین درجه جملات آن برابر است. به عنوان مثال در مورد چند جملهای x4+2x2y2z+z2+zxy+xy3 احکام زیر را میتوان صادر کرد.- درجه نسبت به x برابر 4 است.
- درجه نسبت به y برابر 4 است.
- درجه نسبت به z برابر 2 است.
- درجه نسبت به همه حروف برابر 5 است.
تفکیک عبارتهای معین و نامعین
در هر عبارت جبری ، مجموعه مقادیری که میتوانند جانشین متغییرهای آن عبارت شوند، دامنه عبارت جبری نامیده میشود. اما در هر عبارت جبری با توجه به نوع عملی که در آن بکار رفته است، محدودیتهایی ظاهر میشود. این محدودیتها منجر به تفکیک عبارتهای معین ونامعین میشود. به عنوان مثال در یک عبارت کسری که مخرج کسر شامل متغییر است، تنها مقادیری میتوانند به جای متغییر قرار گیرند که مخرج کسر را صفر نکنند. به عبارت دیگر هر عبارت کسری با مخرج صفر ، عبارتی نامعین است که از لحاظ ریاضی تعریف نشده است.عبارتهای متحد
دو عبارت جبری را متحد گویند، هرگاه ضرایب جملات متشابه در آنها یکسان باشد. دو جمله متشابه ، دو جملهای را گویند که توان همه متغیرها در آنها یکسان باشد. به عنوان مثال از اتحاد (ax4+bx2+c≡(x2-2)(x+4 میتوان نتیجه گرفت که a=1 و b=4 و c=-8 است. چون اگر عبارت طرف دوم را بسط دهیم، عبارتی به صورت x4+4x2-2x-8 حاصل میشود، که از مساوی قرار دادن ضرایب جملات مشابه ، مقادیر فوق بدست میآید.اتحادهای مهم
| a+b)2=a2+b2+2ab) |
| a-b)2=a2+b2-2ab) |
| a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab |
| a-b)(a+b)=a2-b2) |
| x+b)(x+b)=x2+(a+b)x+ab) |
| (a3+b3=(a-b)(a2-ab+b2 |
| (a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2 |
| a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3) |
| a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3) |
نوشته شده توسط اف ریاضی در ساعت 8 قبل از ظهر | لینک
|
